옹벽 힘의 평형 — Ph, 저면 마찰, 미끄럼·전도와 안전율 (토압 시리즈 실전 1)

Ph를 ‘이미 구해 둔 수평 합력’으로 두고, 저면 반력·수평 마찰·모멘트로 미끄럼·전도 안전율까지 유도한다. 그림은 설명하는 바로 그 옆에 둔다.

Seobway · 2026-04-05 · 18분

시리즈에서의 위치

이 글은 토압 개요 →에서 말한 $P_h$ 를 이미 알고 있다고 가정하고, 옹벽이 안 미끄러지고 안 넘어지는지를 힘과 모멘트로 검사하는 단계다. 수평·수직 힘, 모멘트가 낯설면 먼저 역학 기초 1 →, 역학 기초 2 →를 본 뒤 돌아오면 된다.

$P_h$ 를 다시 한 번 (이 글의 출발점)

$P_h$ 는 벽 뒤 흙이 벽면에 주는 수평 토압들을 전부 합친 합력이다. 크기는 뒤편에서 랭킨·쿨롱 등으로 구하지만, 평형식만 쓸 때는 “흙이 벽을 옆으로 밀어 대는 화살표 하나”로 생각하면 된다.

합력의 작용점은 토압이 아래로 갈수록 커지는 단순 모형에서는 벽면 하단(기초와 만나는 근처) 쪽에 가깝고, 대표적으로 벽면 발에서 위로 $H/3$ 에 놓는 경우가 많다( $H$ 는 흙의 대표 높이). 아래 그림의 노란 점이 그 위치다.

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미끄럼과 전도를 한 줄로

미끄럼(sliding) — 옹벽 덩어리 전체가 기초 저면을 따라 옆으로 밀려 나가려는지 본다.
전도(overturning) — 벽이 앞쪽 발(토e) 을 축으로 앞으로 넘어가려는지 본다. 이때 모멘트가 중심이 된다. 개념은 모멘트 글 →와 같다.

※ ‘활동’은 토질에서 종종 주동(active) 을 가리키는 말이 섞여 있다. 바닥을 따라 밀리는 것은 이 글에서 미끄럼으로 통일한다.

자유물체도(FBD)란 무엇인가

자유물체도는 관심 있는 물체(여기서는 옹벽 강체 하나)를 상상 속에서 주변과 잘라 낸 뒤, 잘린 면에 작용하는 모든 외력을 화살표로 그린 그림이다. “벽 안의 응력”이 아니라 경계에 닿는 힘만 본다.^[1]

저면이란, 수평 마찰 $T$ 란

저면은 기초 바닥과 지반이 맞닿는 접촉면이다. 벽 자중 $W$ 같은 수직 하중이 이 면을 누르면, 지반은 수직 반력 $R_n$ 으로 맞받친다.
수평 마찰 $T$ 는 그 저면에서 옆으로 미끄러지지 않게 잡아 주는 전단(마찰) 저항이다. 미끄럼 검토에서 “ $P_h$ 를 저면이 옆으로 버텨 주는가?”가 핵심이다.

아래는 단순화한 옹벽 FBD다. 색과 라벨이 위 기호와 대응한다.

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수평 힘만 먼저 — 직관 그림

수평 방향으로는 “흙이 밀고” vs “저면이 막는다”가 맞선다. 기초 1 →에서 말한 $\sum F_x = 0$ 직관을 같은 스타일로 다시 그리면 아래와 같다.

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기호 표

기호	뜻
$W$	벽 자중 (아래 방향)
$P_h$	흙이 벽에 주는 수평 토압 합력
$P_v$	벽면 마찰 등으로 생기는 수직 성분(단순 모델에서는 0으로 두기도 함)
$R_n$	기초 저면에서 지반이 주는 수직 반력
$T$	저면 수평 마찰(전단) 저항 — 미끄럼을 막는 힘
$B$	기초 너비
$H$	벽 뒤 흙의 대표 높이(합력 작용 높이 스케일)

가정 (단순화 모델)

벽은 강체 — 변형은 무시하고 힘만 본다.
평면 변형 — 깊이 방향으로 단면이 같다고 본다.
한동안 $P_v = 0$ 이면 수직 평형은 $R_n = W$ 로 단순화한다.
저면 마찰은 쿨롱 마찰로 $T \le R_n \tan\delta_b + c_b B$ . 한계에서는 $T_{\max} = R_n \tan\delta_b + c_b B$ . $\delta_b$ 는 기초–지반 마찰각, $c_b$ 는 저면 점착(없으면 0).

수평·수직 힘의 평형

정지해 있으면

\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0.

수평: 다른 수평력이 없다고 하면 $P_h - T = 0$ → 미끄럼이 일어나지 않으려면 $T = P_h$ 가 되어야 한다. 즉 저면이 최소한 $P_h$ 만큼 옆으로 받쳐 줘야 한다.

수직: $P_v=0$ 이면 $R_n = W$ .

모멘트 평형과 합력의 작용점

한 점 $O$ 에 대해 넘어지게 하는 모멘트와 막는 모멘트가 맞서야 한다. 전도 검토에서는 $O$ 를 토e(앞쪽 모서리) 에 두는 경우가 많다 — “앞으로 넘어가나?”를 보기 좋기 때문이다. 모멘트 정의 자체는 기초 2 →와 같다.

$P_h$ 의 작용점이 기초면에서 위로 $\bar{z}$ 에 있다고 하면, $O$ 에 대한 전도 모멘트는 대략 $M_{\text{ov}} = P_h \bar{z}$ 이다. 삼각형 분포에서 $\bar{z} = H/3$ 인 경우는 아래 유도를 본다.

유도: 삼각형 분포 토압의 합력과 작용점

$z$ 를 지표에서 아래로 잰 깊이, $0 \le z \le H$ 라 두자. 벽면 수평 압력이 깊이에 선형으로 커진다고 하면

p(z) = p_0 \frac{z}{H}

( $z=0$ 에서 0, $z=H$ 에서 $p_0$ ).

(1) 합력 크기 — 분포력의 합은 압력도의 면적(단위 깊이 폭당).

P_h = \int_0^H p(z)\,dz = \frac{1}{2} p_0 H.

(2) 토e 축에 대한 모멘트 — 깊이 $z$ 의 작은 띠가 만드는 힘은 $p(z)\,dz$ 이고, 팔의 길이는 $(H-z)$ 이다.

M_O = \int_0^H p(z)(H-z)\,dz = \frac{1}{6}p_0 H^2.

합력 $P_h$ 가 기초면에서 위로 $\bar{z}$ 에서 작용하면 $M_O = P_h\,\bar{z}$ 이므로

\bar{z} = \frac{M_O}{P_h} = \frac{H}{3}.

깊이–압력 그래프 (선형 $p(z)$ 복습)

위 유도에서 “면적 = $P_h$ ” 를 떠올리기 쉽게, 선형 $p(z)$ 두 개의 기울기를 비교하는 예시 그래프를 한 번 더 둔다(아직 특정 $K$ 값 대입은 하지 않는다).

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안전율이란 무엇인가

안전율(factor of safety) 은 “버틸 수 있는 최대”를 “실제로 요구되는 것”으로 나눈 여유 배수로 생각하면 된다.

1.0 근처 — 한계에 가깝다(설계에서 보통 피한다).
1.5~1.75 등 — 규범·지침에서 자주 요구하는 하한 예시에 가깝다(국가·사양마다 다름).

아래 두 식은 미끄럼과 전도에 대해 각각 그 비율을 정의한 것이다.

유도: 미끄럼 안전율

저면이 줄 수 있는 최대 수평 저항(마찰 한계)은

T_{\max} = R_n \tan\delta_b + c_b B.

평형에서 $T = P_h$ 이므로, 파괴 직전에는 $P_h = T_{\max}$ . 미끄럼 안전율은

FS_{\text{sl}} = \frac{T_{\max}}{P_h} = \frac{R_n \tan\delta_b + c_b B}{P_h}.

$R_n \approx W$ , $P_v=0$ 이면 $FS_{\text{sl}} = \dfrac{W\tan\delta_b + c_b B}{P_h}$ .^[2]

유도: 전도 안전율(한 가지 정의)

$O$ 를 토e에 두고,

전도 모멘트 $M_{\text{ov}} \approx P_h \bar{z}$ (삼각형이면 $\bar{z} \approx H/3$ ).
복원 모멘트 $M_{\text{res}}$ — $W$ 와 지반 반력 분포가 만드는 넘어짐을 막는 모멘트(벽이 뒤쪽으로 무게중심이 있을수록 커지기 쉽다).

FS_{\text{ov}} = \frac{M_{\text{res}}}{M_{\text{ov}}}.

직사각형 단면 벽만 예로 들면 $M_{\text{res}} \approx W \cdot (b/2)$ 같은 꼴이 나온다. 실무에서는 지반 반력 분포를 더 정밀히 넣어 $M_{\text{res}}$ 를 잡는다.

다음에 올 이론(예고)

$P_h$ 자체를 구하려면 응력, 유효응력, 모어의 원, 모어–쿨롱, $K_0$ , 랭킨, 쿨롱 순으로 돌아올 예정이다. 지도는 토압 개요 →와 docs/earth-pressure-series-roadmap.md 를 보면 된다.

한 줄 정리

$P_h$ 는 흙이 벽을 옆으로 밀어 대는 합력이고, 미끄럼은 저면 수평 마찰이 그것을 버티는지, 전도는 작용점 높이까지 포함한 모멘트로 본다. 안전율은 그 버팀이 얼마나 여유 있게 큰지를 숫자로 나타낸다.

참고

[1] Free body diagram — Wikipedia

[2] Retaining wall — Wikipedia

[3] Statics — Wikipedia

역학
토질역학
정역학
자유물체도
평형
옹벽
안전율